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Question

Bonsoir à tous, y aurait-il quelqu'un pour m'aider s'il vous plaît. l'énoncé en photo et voici les questions.
1) Montrer que l'air du fond de la boîte s'exprime en fonction de x par: A(x)=-2x²+20x. 2)Montrer que le volume V de la boîte, en cm³, s'exprime en fonction de x par: V(x)=3x²-60x²+300x. 3) Compléter le tableau de valeurs suivant(voir photo) 4) Exprimer la dérivée V' de la fonction V. 5)Résoudre l'équation V' (x)=0 sur l'intervalle [1;8] 6) Dresser le tableau de variation de la fonction V sur l'intervalle[1;8]. 7) En déduire la valeur de x que permet d'obtenir une boîte de volume maximal (on arrondira le résultat au dixième de cm) 8) Calculer le volume maximal de cette boîte ( on arrondira au dixième de cm³).
Bonsoir à tous, y aurait-il quelqu'un pour m'aider s'il vous plaît. l'énoncé en photo et voici les questions. 1) Montrer que l'air du fond de la boîte s'exprime
Bonsoir à tous, y aurait-il quelqu'un pour m'aider s'il vous plaît. l'énoncé en photo et voici les questions. 1) Montrer que l'air du fond de la boîte s'exprime

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1 Réponse

  • Réponse :

    Bonjour

    Explications étape par étape

    Question 1 ---

    l aire du fond de la boite s exprime par

    x * ( 20 - 2 x)

    car il s agit d un rectangle dont un cote est de longueur x  

    et l autre de longueur 20 - x - x = 20 - 2x

    donc ,  en developpant ,

    [tex]A(x) = x ( 20-2x) = -2x^2 +20x[/tex]

    Question 2 ---

    le volume de la boite est egal a  

    (20-2x) * (30-3x)/2 * x

    =(600 - 60x - 60x + 6x^2 ) x/2

    = [ 6x^3 -120x^2 +600x ] / 2

    = 3x^3 - 60x^2 + 300x

    Question 3 ---

    x  1 2 3 4 5 6 7 8

    V(x) 243 384 441 432 375 288 189 96

    il suffit d utiliser la calculatrice ou un tableur

    Question 4 ---

    V est derivable sur R car il s agit d une fonction polynome

    V'(x)=9x^2-120x+300

    Question 5 ---

    nous pouvons utiliser la formule du discrimant pour determiner les racines

    et factoriser l expression

    Cependant il existe une racine triviale donc j utilise cette information ici

    V'(x)=0

    <=>

    9x^2-120x + 300 = 0

    <=>

    3x^2-40x + 100 = 0

    <=> [on constate que 10 est une solution triviale donc on factorise par (x-10) ]

    (x-10)(3x-10) = 0

    <=>

    x = 10

    ou

    x = 10/3

    du coup la solution sur [1;8] est 10/3

    Question 6 ---

    V'(x) = 0 pour x = 10/3

    V'(x) <= 0 pour x >= 10/3

    V'(x) >= 0 pour 1 <= x <= 10/3

    donc V est croissante sur 1 <= x <= 10/3

    donc V est decroissante sur 10/3 <= x <= 8

    Question 7 ---

    d apres les variations de la fonction V

    sur [1;8] le maximum de V(x) est atteint quand x=10/3 (V'(x)=0)

    donc x = 3.33 cm

    Question 8 ---

    V(10/3) = 444.44 cm^3

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