bonjour, je bloque sur cet exercice de dérivation. Je n arrive pas a trouver la conjecture. j'espère que vous pourrez ma aider :)​

Réponse :

Bonjour

1. La Courbe C est située au dessus de l tangente T sur ]0; +∞[ et C est en dessous de T sur ]-∞; 0[.

2.

Déterminons l'équation de la tangente T

y = f'(2)(x-2)+f(2)  avec f'(x) = -1/x²

y = -1/2²(x-2) + 1/2

y = -x/4 + 1

Etudions le signe de f(x) - y

f(x) - y = 1/x - (-x/4 + 1)

f(x) - y = 1/x + x/4 - 1

f(x) - y = (4 + x² - 4x)/(4x)

f(x) - y = (x - 2)²/(4x)

x-2 = 0 <=> x = 2

x       | -∞        0       2      +∞

(x-2)² |     +     |    +   0   +

4x      |     -     0   +    |    +

f(x)-y  |     -      ||   +   0    +

f(x) - y > 0 sur ]0; 2[ et sur ]2; +∞[

Donc C est strictement au dessus de T sur ]0; 2[ et sur ]2; +∞[

f(x) - y = 0 pour x = 2

Donc C et T se coupent en x = 2.

f(x) - y < 0 sur ]-∞; 0[ donc C est strictement en dessous de T sur ]-∞; 0[.

3. L’équation générale de la tangente au point d'abscisse a est

y = -1/a² (x-a) + 1/a

y = -x/a² + 2/a

f(x) - y = 1/x - (-x/a² + 2/a)

f(x) - y =  1/x + x/a² - 2/a

f(x) - y = (a² + x² - 2ax) / (ax)

f(x) - y = (x - a)²/(a²x)

x-a = 0 <=> x = a

Pour a > 0 :

x       | -∞        0       a      +∞

(x-a)² |     +     |    +   0   +

a²x     |     -     0   +    |    +

f(x)-y  |     -      ||   +   0    +

f(x) - y > 0 sur ]0; a[ et sur ]a; +∞[

Donc C est strictement au dessus de T sur ]0; a[ et sur ]a; +∞[

f(x) - y = 0 pour x = a

Donc C et T se coupent en x = a.

f(x) - y < 0 sur ]-∞; 0[ donc C est strictement en dessous de T sur ]-∞; 0[.

Pour a < 0 :

x       | -∞        a       0      +∞

(x-a)² |     +     0    +   |   +

a²x     |     -      |   -   0   +

f(x)-y  |     -      0   -   ||   +

f(x) - y > 0  sur ]0; +∞[

Donc C est strictement au dessus de T sur ]0; +∞[

f(x) - y = 0 pour x = a

Donc C et T se coupent en x = a.

f(x) - y < 0 sur ]-∞; a[ et sur ]a; 0[ donc C est strictement en dessous de T sur ]-∞; a[ et sur ]a; 0[.