Bonjour [tex]on \: donne \: \sin( \frac{7\pi}{12} ) = ( \frac{ \sqrt{2} + \sqrt{6} }{4} )[/tex] 1) Calculer la valeur exacte de [tex] \cos( \frac{7\pi}{12}

bjr

méthode :

formule fondamentale sin²x + cos²x = 1 (1)

si l'on connaît sinx on le remplace par sa valeur dans (1) et on peut calculer cosx  :

cos²x = 1 - sin²x

• ici   sin (7π/12) = (√2 + √6)/4

sin² (7π/12) = [(√2 + √6)/4 ]² = (2 + 2√2√6 + 6)/16

                                             = (2 + 2√2√2√3 + 6)/16

                                              =  (6 + 2 x 2 √3 + 6)/16

                                              = (8 + 4√3)/16

cos² (7π/12) = 1 - sin² (7π/12)

                   = 1 - (8 + 4√3)/16

                   = (16 - 8 - 4√3)/16

                   = (8 - 4√3)/16

je remarque qu'en développant (√2 + √6)² on a trouvé 8 + 4√3

j'en déduis que 8 - 4√3 est le développement de (√2 - √6)²

(tu peux le contrôler en faisant les calculs)

d'où

cos² (7π/12) = (√2 - √6)²/16

cos (7π/12) = √(√2 - √6)²/4  ou  cos (7π/12) = -√(√2 - √6)²/4

(en effet si  x² = 3 cela signifie que x = √3 ou x = -√3)

√(√2 - √6)² = |√2 - √6| = √6 - √2

(la valeur absolue est un nombre positif)

on a donc

cos (7π/12) = (√6 - √2)/4     ou   cos (7π/12) =  - (√6 - √2) /4

 le point qui représente 7π/12 sur le cercle trigonométrique est dans le 2e quadrant. Le cosinus de 7π/12  est négatif.

la réponse est  cos (7π/12) =  - (√6 - √2) /4

ou encore

                    cos (7π/12) =   (√2 - √6) /4