Bonsoir j'ai un problème concernant un exercice de maths de terminale S et j'aimerais bien de l'aide : f(x)= sin(x) +1/2sin(2x) a) Montrer que f'(x)= (cosx+1).(

voila f'(x)=cosx+1/2×2cos2x

=cosx+cos2x

=cosx+2(cosx)^2-1

et si tu as develpppé la repense de f'x tu vas trouver la meme reponse ok?

Réponse :

Bonsoir

Explications étape par étape

f(x) = sin(x) + [tex]\frac{1}{2}[/tex] sin(2x)

a) f'(x) = cos(x) + [tex]\frac{1}{2}[/tex] × 2 × cos(2x) = cox(x) + cos(2x)

f'(x) = cos(x) + 2 cos²(x) - 1 = 2cos²(x) + cos(x) - 1

et (cos(x) + 1)(2cos(x) - 1) = 2cos²(x) - cos(x) + 2cos(x) -1 = 2cos²(x) + cos(x) - 1

donc f'(x) = (cos(x) + 1)(2cos(x) - 1)

b) f'(x) = 0 ⇔ (cos(x) + 1)(2cos(x) - 1) = 0

⇔ cos(x) + 1 = 0         ⇔ cos(x) = -1       ⇔ x = π           ⇔ x = π + 2kπ

ou 2cos(x) - 1 = 0            2cos(x) = 1         cos(x) = [tex]\frac{1}{2}[/tex]           x = [tex]\frac{\pi }{3}[/tex] + 2kπ

                                                                                          ou x =[tex]-\frac{\pi }{3}[/tex] + 2kπ

La fonction f(x) est impaire ,il y a donc une symétrie par rapport  à l'origine du repère. Elle est périodique de période 2π ,on va donc étudier les variations sur l'intervalle [0 ; 2π],puisque les mêmes variations se répéteront ensuite sur [2π ; +∞[ et on aura une symétrie sur ]-∞ ; 0]

Sur [0 ; 2π] , f'(x) s'annule pour x = [tex]\frac{\pi }{3}[/tex] ; x = [tex]\pi[/tex] et x = [tex]\frac{5\pi }{3}[/tex]

f'(x) est donc négative sur [[tex]\frac{\pi }{3}[/tex] ; [tex]\frac{5\pi }{3}[/tex] ] et positive sur [0 ; [tex]\frac{\pi }{3}[/tex]]∪[[tex]\frac{5\pi }{3}[/tex] ; 2[tex]\pi[/tex]]

f(x) est donc croissante sur [0 ; [tex]\frac{\pi }{3}[/tex]]∪[[tex]\frac{5\pi }{3}[/tex] ; 2[tex]\pi[/tex]] et décroissante sur [[tex]\frac{\pi }{3}[/tex] ; [tex]\frac{5\pi }{3}[/tex]]