Bonsoir à tous. C'est un DM de math,je n'y arrive pas du tout, ça fit deux jours que je suis là dessus, pouvez-vous m'aider s'il vous plaît?Je mets l'énoncé en

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape

je vais tenter d apporter le plus de precisions possibles

en esperant que cela puisse aider a la comprehension de ces notions delicates  

permettez moi de m excuser a l avance pour la absence d accent ou de c cindille

mon ordinateur etant un ordinateur anglais avec un clavier qwerty je n ai pas la possibilite de retranscrire toute la diversite de la langue francaise

Alors commencons par le commencement

pour tout x de l intervalle [0;10]

la fonction f est une fonction polynomiale donc derivable sur cet intervalle

Et nous pouvons ecrire pour tout x de l intervalle [0;10]

f'(x) = -0.1 * 2 * x + 1 soit

f'(x) = -0.2 * x + 1

C est fantastique de connaitre la derivee pour trouver les optimums de la fonction f

en effet, il s agit de trouver les points ou la derivee s annule

Procedons ainsi de la sorte

pour tout x de l intervalle [0;10]

f'(x) = 0 est equivalent a

-0.2 * x + 1 = 0

<=>

0.2 * x = 1

<=>

x = 1/0.2 = 5

donc la derivee de f s annule en x = 5

et pour 0 <= x <= 5 f'(x) >= 0

et pour 5 <= x <= 10 f'(x) <= 0

Nous pouvons donc en deduire que la fonction f est croissante sur [0;5]

puis decroissant sur [5;10]

elle admet donc un maximum en x = 5

et la valeur de ce maximum est donc f(5)

mais combien fait f(5)?

remplacer x par 5 dans la formule suivante -0.1*x^2 + x + 5 cela donne

-0.1*5^2 + 5 + 5 = -0.1*25 + 10 = -2.5 + 6 = 7.5

le maximum est donc 7.5 m , ce qui laisse suffisament de place pour se tenir debout a l interieur du batiment

Mais ce n est pas la question posee

continuons donc avec la suite des questions

nous devons calculer f(12.5)

Nous allons utiliser la meme methode que dans la question precedente

comme elle a fait ses preuves il est inutile d en changer

cette fois ci par contre nous remarquerons qu il faut remplacer x par 12.5

et cela donne

0.1*12.5^2+12.5+5 = 0.1*156.25+17.5 = 15.625+17.5=1.875

On dirait pas comme ca mais on avance pas mal dans la resolution de ce probleme

en effet nous pouvons maintenant en deduire la hauteur du poteau qui doit etre

de 1.875m si jamais on fait un prolongement parabolique de la toiture

Certes, 1.875m c est plus bas que 7.5m  

et il est possible de trouver des gens qui soient genees par cette toiture trop basse

Dans ce cas, pourquoi ne pas analyser un prolongement rectiligne de la toiture

ca tombe bien c est l objet de la question suivante

on va essayer de faire quelque chose d un peu harmonieux  

prenons la pente de la tangente en ce point du coup

ce point se situe a x = 10 du coup que pourrait faire f'(10)?

ben f'(10) = -0.2 * 10 + 1 = -1

et l equation de la tangente est donc

y - f(10) = f'(10) ( x - 10)

inutile de calculer f(10) car f(10) = f(0) = 5 mais bon si vous etes de nature sceptique, faites le calcul vous verrez bien

donc nous nous retrouvons avec

y - 5 = -x + 10 soit

y = -x + 15 comme equation de la tangente

et maintenant ca nous donne quoi comme hauteur de poteau ?

ben -12.5 + 15 = 2.5

voila 2.5m c est deja mieux - tout le monde pourra passer sans se cogner la tete

Comme nous devons avoir des poteaux superieurs a 2.10m

nous allons abandonner notre idee saugrenue de prolongement parabolique  

et adopter le prolongement rectiligne qui permet un poteau de 2.50m soit 40 cms de plus que les exigences initiales

N hesitez pas si vous avec des questions

merci