Bonjour j'ai commencé ma première partie mais je n'arrive pas avec la deuxième la fonction est écrit en dessus. Je pourrais avoir de l'aide s'il vous plaît. Mer

Réponse :

Tu ne m'as donnée l'expression de f(x) mais vu les calculs je pense que c'est f(x)=(1-e^x)/(1+e^x) sur R

Explications étape par étape

tu as trouvé f'(x)=-2e^x/(1+e^x)²

7) Sur le graphique, on peut conjecturer que

si x tend vers -oo , f(x) tend vers+1

si x tend vers +oo, f(x) tend vers-1

plus mathématiquement

Qd x tend vers -oo, e^x tend vers 0 donc f(x) tend vers 1/1=1

Qd x tend vers +oo, la valeur 1 est négligeable devant e^x donc  f(x) tend vers -(e^x)/(e^x)=-1

8) f"(x) il faut dériver f'(x), rien de compliquer avec les formules

(u/v)'= (u'v-v'u)/v² et (u^n)'=n*u'*u^(n-1)

u=-2e^x   donc u'=-2e^x

v=(1+e^x)² donc v'=2(e^x)(1+e^x)

f"(x)=[(-2e^x)( 1+e^x)²-2(e^x)((1+e^x)(-2e^x)]/(1+e^x)^4

on factorise (1+e^x) au numérateur puis on simplifie par (1+e^x)  et il reste f"(x)=[-2e^x)(1+e^x)+4(e^x)²]/(1+e^x)³=[2(e^x)(2e^x-1-e^x)]/(1+e^x)³

f"(x)=2(e^x)(e^x-1)/(1+e^x)³

9a)  Le signe de f"(x) dépend uniquement du signe de e^x-1  

f"(x)=0 pour x=0

si x<0, f"(x)<0 et si x>0,  f"(x)>0

9b) Tableau

x       -oo                                     0                                    +oo

f"(x)...................-.................................0................+.........................

f'(x)...................décroi.......................................croi....................

f(x)................concave.....................0.........convexe.....................

9c) les coordonnées du point d'inflexion sont (0; 0)

10) Idée1) avec les limites calculées en question 7 tu en déduis que les droites d'équation y=1 et y=-1 sont des asymptotes horizontales et compte tenu du sens de variation de f(x) et de sa montonie tu peux dire que -1<f(x)<1

idée 2)

a) f(x)>-1 soit (1-e^x)/(1+e^x)>-1

1+e^x étant >0 on peut écrire (1-e^x) > -1(1+e^x) ce qui donne 1>-1 ce qui est évident quelque soit x

b)f(x)<1 soit (1-e^x)/(1+e^x)<1  même remarque (1+e^x) étant >0 on peut écrire (1-e^x)<(1+e^x)   e^ x étant positif ceci est évident

On peut  conclure que -1<f(x)<1