Bonjour j'ai besoin d'aide pour cette exercice s'il vous plaît. Dans un repère orthonormé du plan, on considère les points A(-5 ; 4), B(-7 ; -2) et C(-2 ; 3) 1)
Question
Dans un repère orthonormé du plan, on considère les points A(-5 ; 4), B(-7 ; -2) et C(-2 ; 3)
1) On nomme H le projeté orthogonal du point A sur la droite (BC). Conjecturer ses coordonnées.
2) Nous allons vérifier que le point H obtenu est bien le projeté orthogonal du point A sur la droite (BC).
a. Calculer les longueurs BH, HC et BC.
B. En déduire que le point H appartient bien à la droite (BC).
C. Calculer les longueurs AH et AC
d. En déduire que la droite (AH) est bien perpendiculaire à la droite (BC)
e. Conclure.
3) Nous allons maintenant nous intéresser aux mesures des angles du triangle ABC.
a. Nous savons que cos(ABC) = 0,894 4.
En déduire une valeur approchée de sin(ABC).
b. On admet que le triangle ABC est rectangle en A.
En déduire une valeur approchée, arrondie au dixième de degré, des mesures des angles du triangle ABC.
1 Réponse
-
1. Réponse aymanemaysae
Bonjour ;
1.
Veuillez voir le fichier ci-joint .
On peut conjecturer que : H(- 3 ; 2) .
2.
a.
On a : BH² = (- 3 - (- 7))² + (2 - (- 2))² = 4² + 4² = 16 + 16 = 32 ;
donc : BH = √(32) = 4√2 .
On a : CH² = (- 3 - (- 2))² + (2 - 3)² = (- 1)² + ( - 1)² = 1 + 1 = 2 ;
donc : CH = √2 .
On a : BC² = (- 2 - (- 7))² + (3 - (- 2))² = 5² + 5² + 25 + 25 = 50 ;
donc : BC = √(50) = 5√2 .
b.
On a : BH + HC = 4√2 + √2 = 5√2 = BC ;
donc : H ∈ [BC] .
c.
On a : AH² = (- 3 - (- 5))² + (2 - 4)² = 2² + (- 2)² = 4 + 4 = 8 ;
donc : AH = √8 = 2√2 .
On a : AC² = (- 2 - (- 5))² + (3 - 4)² = 3² + (- 1)² = 9 + 1 = 10 ;
donc : AC = √(10) .
d.
Considérons le triangle AHC .
On a : HC² + HA² = 2 + 8 = 10 = AC² ;
donc en appliquant le théorème réciproque de Pythagore ,
le triangle AHC est rectangle en A ;
donc les droites (AH) et (BC) sont perpendiculaires .
e.
Les droites (AH) et (BC) sont perpendiculaires ;
et le point A est un point de la droite (AH) ;
donc le point H est projeté orthogonal de A sur la droite (BC) .
3.
a.
L'angle ABC est inférieur à 90° , donc : sin(ABC) > 0 .
On a : sin²(angle ABC) = 1 cos²(angle ABC) = 1 - 0,8944² ;
donc : sin(angle ABC) = √(1 - 0,8944²) ≈ 0,4473 .
b.
On a : sin(angle ABC) = √(1 - 0,8944²) ≈ 0,4473 ;
donc : angle ABC ≈ 26,6° .
Le triangle ABC est rectangle en A ;
donc : angle BAC = 90° .
angle BCA ≈ 180° - 90° - 26,6° = 63,4° .
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